Fondamenti della meccanica atomica
generale della (21), che è notoriamente
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Anche nel caso generale la (53) e la (54) si potrebbero facilmente mettere sotto forma trigonometrica.
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dove v è funzione in generale di kx,ky, kz, ovvero, se il mezzo è isotropo come supporremo, solo di k.
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È questa un'equazione di secondo grado che fornisce in generale due radici, , a cui corrispondono, in generale, due integrali della forma (86) che
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Questo fatto induce a considerare il nucleo non come un corpuscolo elementare al pari dell'elettrone, ma come un sistema in generale complesso, e
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Nel caso più generale di orbite qualunque si troverebbe un risultato dello stesso ordine di grandezza, e cioè in generale
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vedrà meglio al § 29, di passare agevolmente al caso più generale.
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generale.
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Se ora introduciamo l'espressione (126) di N nell'equazione generale (108') cui soddisfa la , troviamo l'equazione:
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A ciascun autovalore (dove n può rappresentare in generale un complesso di più indici) corrisponderanno una o più autofunzioni normalizzate che
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Consideriamo ora la (x, y, z, t) più generale possibile. Fissato un valore di t, p. es. t = O, la potrà essere sviluppata in serie mediante le
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Il caso più generale è quello in cui vi sono autovalori discreti e autovalori continui, nel qual caso la sarà la somma di una serie e di un integrale
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con k costante: essa è l'equazione studiata nel § 8 ed ha per integrale generale
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§ 35, il cui integrale generale ha la forma (149), ma le costanti che vi figurano saranno in generale diverse nei due tratti: nella regione II poi
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Nel caso, più generale, della fig. 30, si troverebbe (mediante un procedimento di approssimazioni successive) un risultato qualitativamente analogo a
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La prima delle (205) ha un integrale generale del tipo
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Nel caso più generale di una particella rinchiusa in una cavità di forma qualunque, il problema è sempre analogo a quello acustico della
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il cui integrale generale è
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soluzione generale è una combinazione lineare delle due contenute nella formula (270), e precisamente
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Noi per ora escluderemo non solo questo caso, ma anche quello più generale che tra le frequenze , passino una o più relazioni del tipo
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anzichè della forma più generale . Tutte queste condizioni sembrano molto restrittive, ma in pratica la maggior parte dei sistemi che si presentano
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sia ragione di equivoco, scriveremo m in luogo di m*, come è uso generale.
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In generale, per tale prodotto non vale la proprietà commutativa, cioè l'operatore non coincide con l' operatore : è questo che rende l'algebra degli
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In generale, chiameremo autovalori dell'o. l. i numeri An e autofunzioni le funzioni tali che
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ponendo . Questa formula è analoga alla (55): essa esprime la più generale autofunzione di appartenente all'autovalore come combinazione lineare (a
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un'autofunzione di , la cui espressione generale sarà dunque
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si può in generale calcolare il risultato di una ulteriore osservazione (sia pure eseguita nello stesso istante) ma si possono soltanto assegnare i
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La più generale si può naturalmente sviluppare in serie delle (89), cioè qualunque stato del sistema si può considerare come una sovrapposizione di
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d) Caso generale. Sia ora G un'osservabile qualunque, definita direttamente (cioè mediante operazioni che non implicano la misura delle q e delle p
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Riassumendo, il principio generale della meccanica quantistica si può enunciare così. Una volta determinato, o mediante la regola data sopra o
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Osserviamo subito che se si applica questa regola generale al caso in cui l'osservabile G è l'energia di una particella, o di un sistema di
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è la proiezione di sul vettore , si ha, per il principio generale della meccanica quantistica, , e quindi
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In generale ci si limita a considerare integrali primi che non contengono esplicitamente t. Allora la (122) diviene
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Si riconobbe in seguito che la formula di Balmer non è che un caso particolare di una formula più generale che rappresenta tutte le righe dello
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e potremo considerare le a come piccole del primo ordine rispetto all'unità, mentre le c sono da considerarsi in generale dell'ordine di grandezza di
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Riprendiamo ora il caso generale, e occupiamoci della ricerca (in prima approssimazione) delle autofunzioni perturbate date dalla (189). È opportuno
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Vogliamo ora trattare il problema delle perturbazioni in modo più generale, così da includere anche il caso di stati risultanti dalla sovrapposizione
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dove i coefficienti in generale saranno funzioni di t. Sostituendo questo sviluppo nella (220') (e indicando, come faremo sempre, col punto la
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Uno stesso elemento presenta in generale diverse successioni di termini, caratterizzate ciascuna da un valore della costante a, e le frequenze di una
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Tenendo presente che le matrici sono permutabili con i simboli di derivazione, ma non sono da ritenersi, in generale, permutabili tra loro, otteniamo
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Nel caso generale, si trova che la magnetizzazione equivalente è data, nella stessa approssimazione, da
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è già visto in generale nel § 51. Nell'ordine di approssimazione in cui o si ritengono trascurabili rispetto a , la soluzione I corrisponde al caso
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Per dimostrare quanto abbiamo ora enunciato, consideriamo la trasformazione di Lorentz più generale, ossia la più generale trasformazione ortogonale
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Più in generale: secondo il principio generale della meccanica quantistica (§ 22) la probabilità di un determinato risultato nella misura di
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generale simmetrica: infatti, scambiando le variabili con le la si muta in : : la differenza , in generale, data l'arbitrarietà di , non risulta nulla
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Se l'autovalore è multiplo, permutando gli indici in questa si muta in un'altra autofunzione, in generale indipendente dalla primitiva: si può
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(1) Lo studio generale delle proprietà di simmetria delle autofunzioni di particelle è stato fatto coi metodi della teoria dei gruppi da E. WIGNER
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dei numeri 1, 2,... N. La soluzione generale sarà una combinazione lineare di tutte quelle così ottenute. Di queste combinazioni ve ne è una
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che il loro rapporto non sia una costante), l'integrale generale si ottiene facendone una combinazione lineare mediante due costanti arbitrarie c1
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Consideriamo p. es. il caso delle condizioni (α). Utilizzando l'espressione (2) dell'integrale generale, si tratta di ricercare due valori, non
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Accademia della crusca
